विभाज्यता के नियम किसे कहते है ?

कोई संख्या किस किस संख्या से विभाजित होती है यह पता करने के लिए कुछ निश्चित नियम बनाये गए है जिन्हें हम विभाज्यता के नियम कहते है जो कि निम्नानुसार हैं -

1 से विभाज्यता का नियम- 1 से सभी संख्याएं विभाजित होती है उदाहरण - 1,2,5, 9,13 ,23 आदि।

2 से विभाज्यता का नियम - संख्याएं जिनके इकाई के स्थान पर 0, 2, 4, 6, 8 हो 2 से पूर्णतः विभाजित होती है ,उदाहरण – 22 ,12 ,18,98 ,122 ये सभी संख्याएं 2 से विभाज्य होंगी।

3 से विभाज्यता का नियम - कोई भी संख्या 3 से विभाजित होती है यदि उस संख्या के सारे अंको का योग 3 से विभाजित हो. उदाहरण :- (i).231 =2+3+1 =6 ,यह संख्या 3 से विभाजित है अतः 231 भी 3 से विभाजित होगी. (ii) 695421 =6+9+5+4+2+1=27 ,3 से विभाजित है अतः दी गई संख्या भी 3 से विभाजित होगी।

4 से विभाज्यता का नियम - कोई भी संख्या 4 से विभाजित होगी ,यदि दी गई संख्या के अंतिम दो अंक 4 से विभाजित हो उदाहरण -(i) 6879376 ,यहाँ 76 , 4 से विभाजित है अतः दी गई संख्या 4 से विभाजित होगा (ii) 496138 ,यहाँ 38 ,4 से विभाजित नहीं होगी ,अतः दी गई संख्या 4 से विभाजित नहीं होगी।

5 से विभाज्यता का नियम- कोई भी संख्या 5 से विभाजित होगी यदि उस संख्या के इकाई के अंक पर 0,या 5 हो . उदाहरण- 7849320 ,76895 ,68790, इन सभी संख्याओ के इकाई के स्थान पर 0,5 है अतः ये 5 से विभाजित होगी।

6 से विभाज्यता का नियम- वो सभी संख्याएं 6 से विभाजित होगी ,यदि वो 2,और 3 से विभाजित होती है उदाहरण - 222 ,ये संख्या 6 से विभाजित होगी क्योंकि यह 2 से भी विभाजित है और 3 से भी विभाजित है।

7 से विभाज्यता का नियम- यदि किसी संख्या के इकाई के अंक का दोगुना बाकी अंकों से बनी संख्या से घटाने पर प्राप्त संख्या 7 से विभाजित होता है तो वह संख्या भी 7 से पूर्णत: विभाजित होगी। जैसे -2170, 6377 ,348 आदि । उदाहरण :- (i)जाँच-348 =34 -8*2 =34-16 =18 ,7 से विभाजित नहीं है ,अतः दी गई संख्या 7 से विभाजित नहीं होगी (ii)6377=637 – 14=623 =62-3*2=62-6=56 ,7 से विभाजित है ,अतः दी गई संख्या भी 7 से विभाजित होगी नोट - यदि दी गई संख्या बड़ी हो तो , यह प्रक्रिया दोहराया जायेगा।

8 से विभाज्यता का नियम - यदि किसी संख्या के इकाई, दहाई और सैकड़े के अंकों से बनी संख्या 8 से विभाजित होती है अथवा किसी संख्या के अंतिम तीन अंक 8 से विभाजित होती है तो वह संख्या भी 8 से विभाजित होती है। जैसे -4528, 69456, 1000 आदि उदाहरण- (i) 4528 , इसमें अंतिम तीन अंक 528, 8 से विभाजित होती है अतः दी गई संख्या 8 से विभाजित होगी (ii)69456 ,इसमें 456 ,8 से विभाजित है अतः दी गई संख्या भी 8 से विभाजित होगी।

9 से विभाज्यता का नियम - जिस संख्या के अंकों का योग 9 से विभाजित हो जाता है, तो वह संख्या भी 9 से विभाजित होती है। जैसे – 4536, 7839, 12348 आदि। उदाहरण:- जाँच-4536 =4+5+3+6=18 ,9 से विभाजित है ,अतः दी गई संख्या भी 9 से विभाजित होगी 78363=7+8+3+6+3=27, 9 से विभाजित है ,अतः दी गई संख्या भी ,9 से विभाजित होगी।

10 से विभाज्यता का नियम - जिस संख्या के इकाई के स्थान पर 0 आता है, तो वह संख्या 10 से विभाजित होती है। जैसे- 680, 450 , 10000, 78640 आदि।

11 से विभाज्यता का नियम - यदि किसी संख्या के सम स्थानों पर आए अंकों के योग और विषम स्थानों पर आए अंकों के योग का अंतर 0 हो या 11 से विभाजित होता हो तो वह संख्या भी 11 से विभाजित होगी। जैसे -2442, 9482 आदि , जाँच:-2442 =(4+2)-(4+2)=0 , अतः दी गई संख्या 11 से विभाजित है 9482=(9+8)-(4+2)=11 ,11 से विभाजित होगी ,अतः दी गई संख्या भी 11 से विभाजित होगी।

12 से विभाज्यता का नियम- जो संख्या 3 और 4 दोनों से विभाजित होती है वह संख्या 12 से भी विभाजित होती है। जैसे – 6300 , 21408 आदि ,दी गई संख्या 3 और 4 दोनों से विभाजित होगी ,इसके लिए हम अलग – अलग दोनों संख्याओं से divisibility(विभाज्यता ) को चेक करेंगे।

13 से विभाज्यता का नियम- किसी संख्या के इकाई के अंक का चार गुना बाकी अंकों से बनी संख्या में जोड़ने पर प्राप्त योगफल यदि 13 से विभाजित होता है तो वह संख्या भी 13 से विभाजित हो जाएगी। जैसे – 2579 जाँच -2579 =257 +9*4 =257+36 = 293 ,13 से विभाजित नहीं है अतः दी गई संख्या भी 13 से विभाजित नहीं होगी।

14 से विभाज्यता का नियम- यदि कोई संख्या 7 और 2 से विभाजित है तो वह संख्या 14 से भी विभाजित होगी . उदहारण- 136 ,294 , ये संख्यांये 7 और 2 दोनों से ही विभाजित है ,इसकी हम विभाज्यता बारी -बारी से चेक करेंगे।

15 से विभाज्यता का नियम - जो संख्या 3 और 5 दोनों से विभाजित होती है वह संख्या 15 से भी विभाजित होती है। जैसे – 6300 , 21240, 43125 आदि ,दी हुई संख्या 3 और 5 दोनों से ही विभाजित है ,अतः यह 15 से भी विभाजित होगी।

प्रतियोगी परीक्षा हेतु अन्य महत्वपूर्ण विभाज्यता संबंधी नियम -

n एक प्राकृतिक संख्या है  तब,

n3 – n सदैव 6 से विभाजित होगा. जाँच- माना की n एक प्राकृतिक संख्या है ,जहाँ (i)n = 3 , n3 – n =27 -3 =24 ,यह 6 से विभाजित है ,(ii)n =4 ,n3 – n =64 -4=60 ,यह संख्या 6 से विभाजित है।

(10n-1) एक भाज्य संख्या है, यदि n एक सम संख्या है तो यह 11 से भी विभाजित होगी। ,जाँच -माना की n=2(सम संख्या) है .(10n-1)=100-1=99 , यह एक भाज्य संख्या है, यह संख्या 11 से विभाजित होती हैं।

(an+bn) सदैव (a+b) से विभाज्य होती है,यदि n एक विसम संख्या है ,जाँच-माना n=3,a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ,यह सर्वसमिका (a+b )से विभाजित होती है।

(an– bn) सदैव (a-b) से हमेशा विभाज्य होती है और यदि n एक सम संख्या है तो यह (a+b) से भी विभाज्य होगी. जाँच- माना की n=2(सम संख्या हो ) तो , (a2-b2) = (a+b) (a-b),यह संख्या (a+b) से विभाजित होगी ,अब 

n=3(विसम संख्या ) माना ,a3-b3=(a-b)(a2-ab+b2) , यह संख्या भी a-b से विभाजित होगी।

किसी भी संख्या “P” के अभाज्य होने की जाँच करना :-

माना की p कोई दी गई प्राकृतिक संख्या है और हमें जाँच करना है की p एक अभाज्य संख्या है या नहीं ,इसकी जाँच हम निचे दिए गए स्टेप्स में करेगे।

P एक प्राकृतिक संख्या है ,इसके अभाज्य होने की जाच करना है .
मान लो n कोई संख्या है ,जहाँ ,n*n>=p
n से छोटा सभी अभाज्य संख्याये ज्ञात करे।

यदि n से छोटे किसी भी अभाज्य संख्या से ,p विभाजित होती है तो ,p एक अभाज्य संख्या नहीं है .
यदि n से छोटे किसी भी संख्या से p विभाजित नहीं होती है तो p एक अभाज्य संख्या है .

उदहारण-137 ,173 ,319 ,437 की अभाज्यता की जाँच करें।

(i)137 :-12*12>=137 ,12 से छोटा सभी अभाज्य संख्याएं =2,3,5,7,11 ,अब उपर दिए गए नियमों से हम विभाज्यता की जाँच करेंगे ,इन संख्याओं में से किसी से भी 137 विभाजित नहीं है अतः 137 एक अभाज्य संख्या है।
(ii)173 :-14*14>=173 ,14 से छोटा सभी अभाज्य संख्याएं =2,3,5,7,11 ,13 , अब उपर दिए गए नियमों से हम विभाज्यता की जाँच करेंगे ,इन संख्याओं में से किसी से भी 173 विभाजित नहीं है अतः 173 एक अभाज्य संख्या है।
(iii)319 :-18*18>=319 ,18 से छोटा सभी अभाज्य संख्याएं =2,3,5,7,11 ,13,17 , अब उपर दिए गए नियमों से हम विभाज्यता की जाँच करेंगे ,इन संख्याओं में से किसी से भी 319 विभाजित नहीं है अतः 319 एक अभाज्य संख्या है।

(iv)437 :-21*21>=437 ,21 से छोटा सभी अभाज्य संख्याएं =2,3,5,7,11 ,13 ,17,19, अब उपर दिए गए नियमों से हम विभाज्यता की जाँच करेंगे ,इन संख्याओं में से किसी से भी 437 विभाजित नहीं है अतः 437 एक अभाज्य संख्या है।